Question

如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠B=∠CAE，再同角的余角相等证明∠B=∠ACE，进而得到∠CAE=∠ACE，最后利用等边对等角可得到结论AE=CE；
（2）首先证明∠CGA=∠BCD，可得到△CEG是等边三角形，进而得到CE=EG=AE=5，再根据ED：AD=3：4求出ED，AD的长，最后在△ACD中利用勾股定理求出AC的长即可．

解答：（1）证明：∵点C是弧AF的中点，
∴∠B=∠CAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠ACE+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE …（6分）

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠CGA=90°，
又∵∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CGA=∠BCD，
∵AG=10，
∴CE=EG=AE=5，
∵ED：AD=3：4，
∴AD=4，DE=3，
∴AC=

AD2+CD2

=

42+82

=4

5

…（10分）．

点评：此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形与等边三角形的判定，以及勾股定理的应用，解决此题的关键是证明∠CAE=∠ACE与CE=EG=AE．