Question

【题目】已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作 DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．

（1）求证：△ADF≌△BCM；

（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）SABED＝a2．

【解析】

（1）由平行线的性质可得∠BMC＝∠AFD，∠FAD＝∠MBC，进而可得出结论．
（2）可把四边形ABED的面积分解为△ADF的面积与四边形ABEF的面积进行求解．

证明：在平行四边形ABCD中，则AD＝BC，AD//BC，

∵AC∥BM，∴∠AFD＝∠E，∠DAF=∠ACB，

∵CM∥DE，∴∠BMC＝∠E，
∴∠BMC＝∠AFD，

∵AC∥BM，

∴∠ACB=∠MBC，
∴∠FAD＝∠MBC，
则在△ADF与△BCM中．
，
∴△ADF≌△BCM（AAS）．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC＝60°，
∴CD＝AD＝a，
则AC＝a，

∵AC=2CF，

∴CF=a，

∴AF＝= =a，
又由△ADF≌△BCM，可得BM＝a，

又∵DE∥CM，BM∥AC，

∴CFEM为平行四边形，

∴EM=CF=a，

∴BE=BM+EM=a+a=a，

又∵AC⊥DC，

∴DC为△ADF高，

又∵△ADF≌△BCM，

∴△ADF的高的长度等于DC，
SABED＝S△ADF＋SABEF

＝AFCD＋（AF＋BE）CD

＝×a× a＋（a＋a）×a

＝a2．