Question

已知Rt△ABC的斜边AB=

5

，两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0的两个实数根．
（1）求m的值．
（2）求Rt△ABC的内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得到AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，求出AC²+BC²=4m²+1，根据勾股定理得出方程即可求出m；
（2）求出方程的解得出AC、BC，连接OD、OF，根据三角形的内切圆求出∠ODC=∠OFC=90°=∠C，推出四边形ODCF是正方形，根据正方形的性质得出OD=OF=CD=CF，根据切线长定理得出AC-OD+BC-OD=AB，代入求出即可．

解答：（1）解：∵两直角边AC，BC的长分别是一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0的两个实数根，
∴AC+BC=2m+1，AC×BC=2m，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2×AC×BC=（2m+1）²-4m=4m²+1，
∵AC²+BC²=AB²，
∴4m²+1=5，
∵m＞0，
∴m=1，
答：m的值是1．

（2）解：把m=1代入得：x²-3x+2=0，
∴x₁=1，x₂=2，
∴AC=1，BC=2，
连接OD、OF，
∵圆O切AC于D，切BC于F，
∴∠ODC=∠OFC=90°=∠C，
∵OD=OF，
∴四边形ODCF是正方形，
∴OD=OF=CD=CF，
∵圆O切AC于D，切BC于F，切AB于E，
∴AE=AD，BE=BF，
∴AC-OD+BC-OD=AB，
∴1-OD+2-OD=

5

，
OD=

3- 5

2

，
答：Rt△ABC的内切圆的半径是

3- 5

2

．

点评：本题主要考查对切线长定理，切线的性质，勾股定理，直角三角形的内切圆，正方形的性质和判定，根与系数的关系，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．