Question

如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm，动圆⊙O₁从点A出发以5cm/s的速度沿折线AD-DC-CB-BA的方向运动，动圆⊙O₂同时从点D出发以1cm/s的速度沿折线DC-CB-BA的方向运动，当O₁和O₂首次重合，则运动停止，设运动的时间是t s．
（1）当t是多少时，O₁和O₂首次重合．
（2）如果⊙O₁、⊙O₂的半径分别为1cm和2cm，那么t为何值时，⊙O₁和⊙O₂相切．

Answer 1

分析：（1）根据题意列出有关时间t的一元一次方程求解即可；
（2）注意分内切和外切两种情况讨论．

解答：解：（1）由题意得：（5-1）t=20
解得t=5
答：当t是5s时，O₁和O₂首次重合．

（2）由（1）得，O₁和O₂首次重合时，O₁和O₂运动到BC上，所以分以下两种情况讨论：
①若点O₁在AD上，O₂在DC上，则AO₁=5t，DO₁=20-5t，DO₂=t，
当⊙O₁、⊙O₂外切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=3²，此方程无实数解，
当⊙O₁、⊙O₂内切，在Rt△O₁DO₂中，
（20-5t）²+（t）²=1²，此方程无实数解，
②若点O₁，O₂在DC上，
当⊙O₁、⊙O₂外切，（5-1）t=17，解得：t=

17

4

，
当⊙O₁、⊙O₂内切，（5-1）t=19，解得：t=

19

4

，
答：当t=

17

4

和

19

4

时，两圆相切．

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是正确的利用两圆的位置关系得到半径与弦心距之间的关系．