Question

【题目】已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D．

（1）试判断点C与⊙D的位置关系；

（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；

（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）点C在圆上，见解析；（2）直线CM与⊙D相切，见解析；（3）不存在，见解析

【解析】

（1）先用待定系数法求出a的值，然后求出点A和点B的坐标，求得AD、CD的长进行比较即可判定；

（2）求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定；

（3）过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE＝AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定．

解：（1）∵抛物线y＝a(x﹣3)2+过点C（0，4），

∴4＝9a+，

解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣3)2+，

令y＝0，则﹣ (x﹣3)2+＝0，解得：x＝8或x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）；

∴AB＝10，

∴AD＝5，

∴OD＝3.

∵C（0，4），

∴CD＝＝＝5，

∴CD＝AD，

∴点C在圆上；

（2）由抛物线y＝a(x﹣3)2+，可知：M(3，)，

设直线CM的解析式为：y=kx+b，

∵C（0，4），M(3，)，

∴，

∴，

∴直线CM为y＝+4，

设直线CM的解析式为：y=kx+b，

∵C（0，4），D(3，0)，

∴，

∴，

∴直线CD为：y＝﹣x+4，

∵，

∴CM⊥CD，

∵CD＝AD＝5，

∴直线CM与⊙D相切；

（3）不存在，理由如下：

如图，过点C作CE∥AB，交抛物线于E，

∵C（0，4），

∴当y=4时，4＝﹣ (x﹣3)2+，

解得：x＝0，或x＝6，

∴CE＝6，

∴AD≠CE，

∴四边形ADEC不是平行四边形．