Question

如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及B点的坐标，即可求出A的坐标
（2）已知了抛物线过A、B、C三点，而且三点的坐标都已得出，可用待定系数法来求函数的解析式．
（3）本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标，然后求出BP的长，进而分情况进行讨论：
①当∠PQB=∠CAB，即BQ：AB=PB：BC时，根据A、B的坐标可求出AB的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，已经求出了PB的长度，那么可根据比例关系式得出BQ的长，即可得出Q的坐标．
②当∠QPB=∠CAB，即BQ：BC=BP：AB，可参照①的方法求出Q的坐标．
③当∠QBP=∠CAB，根据P点和A点的坐标即可得出∠CAO与∠QBP是不相等的，因此∠CAB与∠QBP也不会相等，因此此种情况是不成立的．
综上所述即可得出符合条件的Q的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，
∴当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0）．

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），
∴c=3．
又∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（1，0），B（3，0），
∴

a+b+3=0 9a+3b+3=0

解，得

a=1 b=-4

∴y=x²-4x+3．

（3）连接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

2

．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

2

．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①当

BQ

BC

=

PB

AB

，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．
即

BQ

3 2

=

2

2

，
∴BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0）．
②当

QB

AB

=

PB

BC

，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．
即

QB

2

=

2

3 2

，
∴QB=

2

3

．
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

2

3

=

7

3

，
∴Q₂的坐标是（

7

3

，0）．
∵∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBQ≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（

7

3

，0），
能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本小题主要考查待定系数法、方程、函数及三角形相似等知识，考查综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、分类讨论的思想．
此题是一道以函数为背景的综合压轴题，第1、2两个小题较为容易，上手很轻松，第3小题中很容易看出要讨论相似三角形的对应顶角，想提醒大家的是在中考中应该对可能的情况进行逐一讨论，才能尽量防止漏解，如本题中的第3种情况实际上不成立，但最好也讨论一下，有时不成立的情况也会是一个得分点，这样在考场上浪费不了多少时间，却能避免失分的风险．