Question

如图，△ABC中，∠A=60°，角平分线BE、CF相交于点P，下列结论：
①∠AEP+∠AFP=180°；②PE=PF；③连接AP，则AP平分∠BAC；④△PFB与△PEC的面积和等于△PBC的面积；⑤AE=AF．
其中正确的个数是（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠BPC=120°，利用四边形的内角和定理求出∠AEP+∠AFP=180°，判断出①正确；从而得到∠BPF=∠CPE=60°，在BC上截取BG=BF，利用“边角边”证明△BPF和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PG，全等三角形对应角相等可得∠BPG=∠BPF=60°，然后求出∠CPG=∠CPE，再利用“角边角”证明△CPG和△CPE全等，根据全等三角形对应边相等可得PE=PG，CE=CG，从而得到PE=PF，判断出②正确，根据三角形的角平分线相交于一点判断出③正确；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点P到AB、BC、AC的距离相等，然后求出④正确；⑤只有在AB=AC时才成立．

解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵角平分线BE、CF相交于点P，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
在△BPC中，∠BPC=180°-60°=120°，
∴∠AEP+∠AFP=360°-60°-120°=180°，故①正确；
∠BPF=∠CPE=180°-120°=60°，
在BC上截取BG=BF，
在△BPF和△BPG中，

BF=BG ∠PBF=∠PBG BP=BP

，
∴△BPF≌△BPG（SAS），
∴PF=PG，∠BPG=∠BPF=60°，
∴∠CPG=∠CPE=60°，
在△CPG和△CPE中，

∠PCG=∠PCE CP=CP ∠CPG=∠CPE

，
∴△CPG≌△CPE（ASA），
∴PE=PG，CE=CG，
∴PE=PF，故②正确；
∵角平分线BE、CF相交于点P，
∴连接AP，则AP平分∠BAC，故③正确；
由题意，点P到AB、BC、AC的距离相等，设为h，
∴△PFB与△PEC的面积和=

1

2

BF•h+

1

2

CE•h=

1

2

BG•h+

1

2

CG•h=

1

2

BC•h=△PBC的面积，故④正确；
⑤只有在AB=AC时才成立．
综上所述，正确的是①②③④共4个．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．