Question

【题目】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF与△DAE成中心对称．其中，正确的结论有( )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据正方形的性质及已知条件易证△ABF≌△DAE，根据全等三角形的性质即可判定①正确；再根据∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，求得∠AOB=90°，即可判定②正确；利用反证法证明③错误；利用中心对称的性质判定④错误.

在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，

∵CE=DF，

∴AD-DF=CD-CE，

即AF=DE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴AE=BF，∠ABF=∠DAE，

故①正确；

∵∠DAE+∠BAO=90°，

∴∠ABF+∠BAO=90°，

在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，

∴AE⊥BF，故②正确；

假设AO=OE，

∵AE⊥BF（已证），

∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，

所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；

连接AD、BA、FE，三条直线不相交于一点，所以△ABF与△DAE不成中心对称.

综上，正确的结论为①②.

故选C.