Question

如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE=，长EF=．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在图中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数；
（2）首先连接AM，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案；
（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置．
解答：解：（1）根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，
∴∠M=90°，
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°，
∴∠BKO=∠AKM=75°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH=，AH=，∠H=90°，
∴tan∠HAN==，
∴∠HAN=30°，
∴AN=2NH=7，
由旋转的性质：∠DAH=15°，
∴∠DAN=45°，
∵∠DAC=45°，
∴A，C，N共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD=3，
∴DI=AI=AC==3，
∴NI=AN-AI=7-3=4，
在Rt△DIN中，DN==5；

（3）点B在矩形ARTZ的外部．
理由：如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°，
∵∠R=90°，AR=，
∴AK===，
∵AB=3＞，
∴点B在矩形ARTZ的外部．
点评：此题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理以及特殊角的三角函数问题．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．