Question

20、（1）如图1，点E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边上的点，若AE=BF=CM=DN，
求证：四边形EFMN是平行四边形；
（2）如图2，当E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点时，试判断四边形EFMN的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）运用菱形的性质，证明三角形全等，利用三角形全等的性质证明EN=MF，EF=MN，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
（2）首先连接AC、BD．要证四边形EFMN是矩形，只要证得NE⊥NM即可．先由菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，再结合题意证得四边形EFMN是平行四边形，利用平行四边形的性质，易证NE⊥NM，从而证得四边形EFMN是矩形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA．
∵AE=BF=CM=DN，
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△AEN≌△CMF，△BFE≌DNM．
∴EN=MF，EF=MN．
∴四边形EFMN是平行四边形．

（2）四边形EFMN是矩形．
证明：连接AC、BD，
∵AC⊥BD，
∴E，F，M，N分别是菱形ABCD四条边的中点．
∴NE∥BD，MF∥BD．
∴NE∥MF．
同理，得：NM∥AC，EF∥AC．
∴NM∥EF．
∴四边形EFMN是平行四边形．
∵NE∥BD，AC⊥BD，
∴NE⊥AC．
∵NM∥AC，
∴NE⊥NM．
∴平行四边形EFMN是矩形．

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．