Question

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=

1

2

x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=

1

2

x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=

1

2

x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

Answer 1

（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×2²=2，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

（1分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴

1 2 =k+b 9 2 =3k+b

解得

k=2 b=- 3 2

∴直线A₁A₃的解析式为y=2x-

3

2

，
∴CB₂=2×2-

3

2

=

5

2

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．（3分）
方法二：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=

1

2

×1²=

1

2

，A₂B₂=

1

2

×2²=2，A₃B₃=

1

2

×3²=

9

2

（1分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）=

1

2

（

1

2

+

9

2

）=

5

2

（2分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

5

2

-2=

1

2

．（3分）

（2）方法一：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴

(n-1)k+b= 1 2 (n-1)2-(n-1)+1 (n+1)k+b= 1 2 (n+1)2-(n+1)+1

（5分）
解得

k=n-1 b=- 1 2 n2+ 3 2

，（6分）
∴直线A₁A₃的解析式为y=（n-1）x-

1

2

n²+

3

2

．（7分）
∴CB₂=n（n-1）-

1

2

n²+

3

2

=

1

2

n²-n+

3

2

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-

1

2

n²+n-1=

1

2

（9分）
方法二：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A₁B₁=

1

2

（n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂=

1

2

n²-n+1，
A₃B₃=

1

2

（n+1）²-（n+1）+1（4分）
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂=

1

2

（A₁B₁+A₃B₃）（6分）
=

1

2

[

1

2

（n-1）²-（n-1）+1+

1

2

（n+1）²-（n+1）+1]（7分）
=

1

2

n²-n+

3

2

（8分）
∴CA₂=CB₂-A₂B₂=

1

2

n²-n+

3

2

-（

1

2

n²-n+1）=

1

2

．（9分）

（3）当a＞0时，CA₂=a；
当a＜0时，CA₂=-a．（12分）