Question

已知一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x²-4x+k=0和x²+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．
（3）是否存在k的值使方程x²-4x+k=0的两根x₁、x₂满足？若存在，求出k的值；不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵一元二次方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-4）²-4k＞0，
∴k＜4；

（2）∵k＜4，
∴k的最大整数值是3，
∴一元二次方程x²-4x+k=0可化为x²-4x+3=0，
∴x₁=3，x₂=1，
∵一元二次方程x²-4x+k=0和x²+mx-1=0有一个相同的根，
∴当相同的实数根是3时，
3²+3m-1=0，解得m=-；
当相同的实数根是1时，
1²+m-1=0，解得m=0．
故m=-或0；

（3）设方程x²-4x+k=0的两根x₁、x₂，则x₁•x₂=k；x₁+x₂=4，
假设x₁、x₂满足，则=6，即=6，
把x₁•x₂=k；x₁+x₂=4代入得，=6，解得k=2，
由（1）可知，k＜4，故k=2符合条件，
故存在符合条件的k的值，此时k=2．
分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得出△＞0，求出k的取值范围即可；
（2）由（1）中k的取值范围得出k的最大整数解，代入一元二次方程x²-4x+k=0中求出x的值，再根据两方程有一个相同的根即可求出m的值；
（3）根据根与系数的关系得出x₁•x₂及x₁+x₂的值，代入所求代数式得出k的值，再看k的值是否满足（1）中k的取值范围即可．
点评：本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程y=ax²+bx+c中，
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②x₁+x₂=-，x₁x₂=．