[题目]我们新定义一种三角形:两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．根据“奇异三角形的定义.小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形是真命题还是假命题?在中....且.若是奇异三角形.求．如图.是的直径.是上一点(不与点.重合).是半圆的中点..在直径的两侧.若在内存在点.使.．①求证:是奇异三角形,②当是直角三角形时.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．

根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

在中，，，，且，若是奇异三角形，求．

如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，．

①求证：是奇异三角形；

②当是直角三角形时，求的度数．

【答案】(1)真命题;(2)；(3)①见解析;②或．

【解析】

试题（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得

a2+b2=c2①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b2②，然后可得b=a，c=a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC2+CE2=2AE2即可；②由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．然后分两种情况讨论.

试题解析：解：（1）真命题．（2分）

（2）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，

若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，（3分）

∴2b2=a2+（a2+b2），∴b2=2a2，得b=a．

∵c2=b2+a2=3a2，∴c=a，

∴a：b：c=1：：．（5分）

（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，

①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；

在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．

∵D是半圆的中点，∴，

∴AD=BD，（6分），

∴AB2=AD2+BD2=2AD2，（7分）

又∵CB=CE．AE=AD/span>，∴AC2+CE2=2AE2．

∴ΔACE是奇异三角形．（8分）

②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．

当ΔACE是直角三角形时，

由（2）可得AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：： 1．

（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：：时，

AC：CE=1：，即AC：CB=1：．

∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°．（10分）

（Ⅱ）当AC：AE：CE=：：1时，

AC：CE=：1，即AC：CB=：1．

∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠ABC=120°，

∴∠AOC的度数为60°或120°．（12分）

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