Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．

(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：由已知条件，可知梯形周长为24，高为4，面积为28．设BE的长为x， 　　过点F作FG⊥BC于点G， 　　过点A作AK⊥BC于点K， 　　则可得FG＝×4． 　　所以S△BEF＝BE·FG＝－x2＋x(7≤x≤10)． 　　(2)存在． 　　由(1)得－x2＋x＝14， 　　解得x1＝7，x2＝5(不合题意，舍去)． 　　所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7． 　　(3)不存在． 　　假设存在，显然有S△BEF∶S五边形AFECD＝1∶2，且(BE＋BF)∶(AF＋AD＋DC＋CE)＝1∶2． 　　则有－x2＋x＝， 　　整理，得3x2－24x＋70＝0． 　　因为b2－4ac＝576－840＜0， 　　所以不存在这样的实数x． 　　即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．