Question

15．某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．设坐标原点为O，已知水面的宽AB=8米，设抛物线解析式为y=ax²-4．
（1）求a的值；
（2）求这条抛物线的函数解析式及顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性确定B点坐标，然后把B点坐标代入y=ax²-4中可求出a的值；
（2）由（1）可确定抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的顶点坐标．

解答 解：（1）∵点A与点B为对称点，
而AB=8，
∴OA=OB=4，
∴B（4，0），
把B（4，0）代入y=ax²-4得16a-4=0，解得a=$\frac{1}{4}$．
即a的值为$\frac{1}{4}$；
（2）抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-4，
抛物线的顶点坐标为（0，4）．

点评 本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．