Question

已知如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝DC．求证AC＝CE．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：∵四边形ABCD是等腰梯形， 　　∴∠ADC＝∠BCD． 　　又∵DC∥AB， 　　∴∠DCB＝∠CBE． 　　在△ADC与△CBE中，AD＝BC，∠ADC＝∠CBE，DC＝BE， 　　∴△ADC≌△CBE．∴AC＝CE． 　　证法2：如图所示，连结DB， 　　∵DC∥BE，DC＝BE， 　　∴四边形DCEB为平行四边形．∴DB＝CE． 　　又∵四边形ABCD为等腰梯形， 　　∴AC＝DB．∴AC＝CE． 　　证法3：如图所示，作CF⊥AE于F， 　　DM⊥AE于M，在△AMD与△BFC中， 　　∠DAM＝∠CBF，AD＝BC，∠DMA＝∠CFB＝90°， 　　∴△AMD≌△BFC．∴AM＝BF． 　　又∵DC＝BE， 　　∴AM＋MF＝BF＋BE． 　　∴F为AE中点，CF为AE的垂直平分线． 　　∴AC＝EC． 　　证法4：如图所示，连结BD， 　　∵DC∥AB，DC＝BE， 　　∴四边形BECD为平行四边形． 　　∴∠2＝∠3． 　　又四边形ABCD是等腰梯形， 　　∴AC＝BD． 　　又∵AD＝BC，AB＝AB， 　　∴△ABC≌△BAD． 　　∴∠1＝∠2． 　　∴∠1＝∠3，∴AC＝CE． 　　分析：本题的证法很多．(1)由于AC与CE具有相同端点C，并且构成了△ACE，所以只需证CA＝CE即可．(2)欲证AC＝CE，选择一个中间量DB，证AC＝DB，CE＝DB即可．(3)借助线段垂直平分线的性质证AC＝CE．(4)欲证AC＝CE，只需证∠1＝∠3，欲证∠1＝∠3，只需找一中间角∠2，使∠1＝∠2，∠2＝∠3，所以∠1－∠3即可得证．