Question

若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，即称该点是直角点．例如，如图的矩形ABCD中，点M在CD边上，连接AM、BM，∠AMB=90°，则点M为直角点．若点M、N分别为矩形ABCD的边CD、AB上的直角点，且AB=4，BC=

3

，则MN的长为

3

或

7

．

Answer 1

分析：作MH⊥AB于点H，利用已知得出△ADM∽△MCB，进而得出

AD

MC

=

DM

BC

，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．

解答：解：作MH⊥AB于点H，连接MN
∵∠AMB=90°，
∴∠AMD+∠BMC=90°，
∵∠AMD+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠BMC
又∵∠D=∠C，
∴△ADM∽△MCB，
∴

AD

MC

=

DM

BC

，即

3

MC

=

4-MC

3

，
∴MC=1或3．
∵点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，
∴AN=MC，
∴当MC=1时，AN=1，NH=2，
∴MN²=MH²+NH²=（

3

）²+2²=7，
∴MN=

7

．
当MC=3时，此时点N与点H重合，即MN=BC=

3

，
综上，MN=

7

或

3

．
故答案为：

7

或

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADM∽△MCB是解题关键．