Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G，

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．

①若点G为DE的中点，求FG的长．

②若DG=GF，求BC的长．

（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①,②12；（2）等腰的腰长为4或20或或．理由见解析.

【解析】

（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
（2）分四种情形：①如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题．

（1）①在正方形中，，

在中，，

，

，

，

，

,

②如图1中，

正方形中，，，

，

，

，设，

，

，

，

，

在中，，

，

解得，

，

在中，．

（2）在中，，

如图2中，

当点在线段上时，此时只有，

，

，

设，则，，

，则，

，

，

，

，

整理得：，

解得或5（舍弃）

腰长．

如图3中，

当点在线段的延长线上，且直线，的交点中上方时，此时只有，设，则，，

，

，

，

，

，

解得或（舍弃），

腰长．

如图4中，

当点在线段的延长线上，且直线，的交点中下方时，此时只有，过点作．

设，则，，，

，

，

，

，

，

，

，

解得或（舍弃）

腰长，

如图5中，

当点在线段的延长线上时，此时只有，作于．

设，则，，，

，

，

，

，

，

，

，

解得或（舍弃），

腰长，

综上所述，等腰的腰长为4或20或或．