分析 (1)根据已知条件证得△ABO为等边三角形,根据三角形外角的性质可求得∠ABD=∠ADB=30°,则可求得∠OBD=90°,BD是⊙O的切线;
(2)先求得∠CAF=∠EBF=15°,进而求得∠BAF=45°,可求得sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,根据同弧所对的圆周角相等,可证明△ACF∽△BEF,得出一相似比,再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求得△ACF的面积,通过解直角三角形ABC和等腰三角形的性质得出BC=$\sqrt{3}$BF,得出FC=($\sqrt{3}$-1)BF,然后根据S△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16($\sqrt{3}$-1),即可求得CF的长.
解答 (1)证明:连接BO,
∵AB=AO,BO=AO,
∴AB=AO=BO,
∴△ABO为等边三角形,
∴∠BAO=∠ABO=60°,
∵AB=AD,
∴∠D=∠ABD,
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°,
∴∠ABD=30°,
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO,
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠ABC=90°,∠ABE=105°,
∴∠CAF=∠EBF=15°,
∵∠BAO=60°,
∴∠BAF=45°,
∴sin45°=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,
∴△ACF∽△BEF,
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ACF}}$=( $\frac{BF}{AF}$)2=$\frac{1}{2}$,
又∵S△BEF=8($\sqrt{3}$-1),
∴S△ACF=16($\sqrt{3}$-1).
在RT△ABC中,
∵∠BAC=60°,
∴BC=$\sqrt{3}$AB,
∵AB=BF,
∴BC=$\sqrt{3}$BF,
∴FC=($\sqrt{3}$-1)BF,
∴S△ACF=$\frac{1}{2}$CF•AB=$\frac{1}{2}$CF•BF=16($\sqrt{3}$-1),
∴$\frac{1}{2}$CF•BF=$\frac{1}{2}$($\sqrt{3}$-1)BF•BF=16($\sqrt{3}$-1),
∴BF=4$\sqrt{2}$,
∴CF=($\sqrt{3}$-1)×$4\sqrt{2}$=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$.
点评 本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容,是一个综合较强的题目,难度较大.
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