Question

19．如图，已知等边△ABC的边长是2cm，将边AC沿射线BC的方向平移2cm，得到线段DE，连接AD、CE．
（1）求证：四边形ACED是菱形；
（2）将△ABC绕点C旋转，当CA′与DE交于一点M，CB′与AD交于一点N时，点M、N和点D构成△DMN，试探究△DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质可得CE=AD=2cm，DE=AC=2cm，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论；
（2）证明△ACN与△DCM全等，证得△CMN是等边三角形，则△DMN的周长即为AD+CN，当CB’⊥AD时，CN最短，求得AD+CN即可求得三角形的周长．

解答 证明：（1）由平移可得：
∴AD∥CE，AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
又∵AD=2cm=AC，
∴□ACED是菱形；
（2）连接CD，

∵∠ACD=∠B'CA'=60°即∠ACN+∠NCD=∠NCD+∠DCA'=60°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAC=∠MDC}\\{AC=CD}\\{∠ACN=∠DCM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（ASA），
∴AN=DM，
同理，CN=CM，
∵∠NCD+∠DCM=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴MN=CN=CM，
则AN+DN=AD=2．
∴△DMN的周长即为DN+DM+MN=AD+CN，
当CB’⊥AD时，（CN）_最小=$\sqrt{3}$，即△DMN的周长的最小值是2+$\sqrt{3}$．

点评 本题是菱形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合题，得出△DMN的周长即为AD+CN是解决本题的关键．