Question

（2013•邗江区一模）在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，扇形ODF与BC边相切，切点是E，若FO⊥AB于点O．求扇形ODF的半径．

Answer 1

分析：连接OE，设扇形ODF的半径为r，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再由扇形ODF与BC相切，得到OE垂直于BC，由OF与AB垂直及AC于BC垂直得到两对直角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AOF与三角形ACB相似，由相似得比例，将AC，BC及设出的半径r代入，表示出AO的长，又AC垂直于BC，可得出OE与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出两对对应角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形BOE与三角形ACB相似，根据相似得比例将AB，AC，表示出的OB及OE代入，得到关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的值．

解答：解：连接OE，如图所示：

设扇形ODF的半径为rcm．
在Rt△ACB中，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

62+82

=10cm，…（1分）
∵扇形ODF与BC边相切，切点是E，
∴OE⊥BC，
∵∠AOF=∠ACB=90°，又∠A=∠A，
∴△AOF∽△ACB．
∴

AO

AC

=

OF

BC

，即

AO

6

=

r

8

，
解得：AO=

3

4

r，…（5分）
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，
∴△BOE∽△BAC，又OB=AB-OA=10-

3r

4

，
∴

BO

BA

=

OE

AC

，即

10- 3r 4

10

=

r

6

，
解得：r=

120

29

．…（8分）

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．