Question

（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作?CDEF．
（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m=3时，是否存在点D，使?CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．

Answer 1

分析：（1）首先证明△BCE∽△BAO，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；
（2）证明△EDA∽△BOA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；
（3）分m＞0，m=0和m＜0三种情况进行讨论，当m=0时，一定成立，当m＞0时，分0＜m＜8和m＞8两种情况，利用三角函数的定义即可求解．当m＜0时，分点E与点A重合和点E与点A不重合时，两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．
∴OA=6，OB=8．
∴AB=10，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
又∵∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴

CE

OA

=

BC

AB

，即

CE

6

=

8-m

10

，
∴CE=

24

5

-

3

5

m；

（2）∵m=3，
∴BC=8-m=5，CE=

24

5

-

3

5

m=3．
∴BE=4，
∴AE=AB-BE=6．
∵点F落在y轴上（如图2）．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴

AD

OA

=

AE

AB

即

6-OD

6

=

6

10

．
∴OD=

12

5

，
∴点D的坐标为（

12

5

，0）．

（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．
则CP=

1

2

CE=

12

5

-

3

10

m．
（Ⅰ）当m＞0时，
①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP=∠BAO，
∴cos∠GCP=cos∠BAO=

3

5

，
∴CG=CP•cos∠GCP=

3

5

（

12

5

-

3

10

m）=

36

25

-

9

50

m．
∴OG=OC+CG=m+

36

25

-

9

50

m=

41

50

m+

36

25

．
根据题意得，得：OG=CP，
∴

41

50

m+

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得：m=

6

7

；
②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．
（Ⅱ）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）．
（Ⅲ）当m＜0时，
①当点E与点A重合时，（如图5），
易证△COA∽△AOB，
∴

CO

AO

=

AO

OB

，即

-m

6

=

6

8

，
解得：m=-

9

2

．
②当点E与点A不重合时，（如图6）．
OG=OC-CG=-m-（

36

25

-

9

50

m）
=-

41

50

m-

36

25

．
由题意得：OG=CP，
∴-

41

50

m-

36

25

=

12

5

-

3

10

m．
解得m=-

96

13

．
综上所述，m的值是

6

7

或0或-

9

2

或-

96

13

．

点评：本题是相似三角形的判定与性质以及三角函数的综合应用，正确进行分类是关键．