Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点．C、D在直径AB的两侧．
（1）求证：CA²+BC²=2BD²；
（2）若∠AOC=60°，求证：以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到两个角为直角，可得出三角形ABC与三角形ADB都为直角三角形，利用勾股定理分别列出关系式，再由D为半圆的中点，得到两条弧相等，利用等弧对等弦得到AD=BD，代入列出的关系式中变形即可得证；
（2）由∠AOC=60°，OB=OC，利用外角性质及等边对等角得到∠ABC为30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到AB=2AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理表示出BC²，再由（1）的结论表示出BD²，可得出CA²+BD²=BC²，则以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．

解答：证明：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵

AD

=

BD

，∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2BD²，
∴AC²+BC²=2BD²；
（2）∵∠AOC=60°，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=30°，
在Rt△ABC中，AB=2AC，
∴BC²=AB²-AC²=4AC²-AC²=3AC²，
由（1）得AC²+BC²=2BD²，
∴BD²=2AC²，
∴CA²+BD²=3AC²，
∴CA²+BD²=BC²，
则以线段CA、CB与BD的长为边的三角形是直角三角形．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，弦、弧及圆心角之间的关系，圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．