【题目】我们定义：将一个图形绕某一定点按某一方向旋转一定的角度（旋转角度小于等于360°），并且各边长伸缩相同的倍数得到另一个图形，如图①，这种变换叫做旋转伸缩变换，其中定点叫做旋转中心，对应边的比叫做伸缩比．
（特例感知）
（1）如图①，
是等边三角形，绕点A作旋转伸缩变换得
，连接
，
①若
，则旋转角的度数为________；
②若伸缩比为2∶1，则线段的数量关系为________；
③直线
与直线
所夹的锐角为________；
（探究证明）
（2）如图②，在
中，
，将绕点A逆时针方向旋转一定的角度，作旋转伸缩变换得到，连接、，直线与直线相交于点P，请判断
的值及
的度数，并说明理由；
（问题解决）
（3）在（2）的条件下，若
，求当点
与点P重合时，的长．
【答案】（1）①50°或310°；②
；③60°；（2）
，理由见解析；（3）
的长为
或
．
【解析】
解：
【解法提示】①如题图①，∵
，
∴
．
∴旋转角的度数为50°或310°；
②∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴；
③如图①，延长，交
于点P，交
于点O，
∵
，
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
．
即直线与直线所夹的锐角为60°；
图①
（2）；
理由如下：
如图②，在
中，
，
∴
．
由旋转伸缩变换得：
，
∴
．
∵
，
∴．
∴
．
∴
．
又∵
，
∴
．
∴
，即
．
图②
（3）①当点
与点P重合时，如图③，
图③
由（2）知
，
∴设
，则
．
在
中，
，
∴
．
中，
，
∴
．
在
中，由勾股定理得：
，
解得
（舍去），
∴
；
②当点与点P重合时，如图④，
图④
由（2）知，
，
∴设，则．
中，，
∴
．
在中，由勾股定理得：
，
解得
（舍去），
，
∴
．
综上所述，当点与点P重合时，的长为或．
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【题目】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
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【题目】如图所示，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点P是边BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作∠BPF，使得∠BPF=
∠ACB，BG⊥PF于点F，交AC于点G，PF交BD于点E，给出下列结论，其中正确的是（ ）
①
；②PE=2BF；③在点P运动的过程中，当GB=GP时，
；④当P为BC的中点时，
．
A.①②③B.．①②④C.②③④D.．①②③④
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【题目】在
中，
，
．点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接
，将线段绕点P逆时针旋转
得到线段
，连接
．点M是
的中点，点N是
的中点．
（1）问题发现
如图1，当
时，
的值是________，直线
与直线
相交所成的较小角的度数是________．
（2）类比探究
如图2，当
时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
如图3，当
时，若点E是
的中点，点P在直线
上，请直接写出点B，P，D在同一条直线上时
的值．
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【题目】“大润发”、“世纪联华”两家超市出售同样的洗衣液和香皂，洗衣液和香皂在两家超市的售价分别一样．已知买1袋洗衣液和2块香皂要花费48元，买3袋洗衣液和4块香皂要花费134元．
（1）一袋洗衣液与一块香皂售价各是多少元？（列方程组求解）
（2）为了迎接“五一劳动节”，两家超市都在搞促销活动，“大润发”超市规定：这两种商品都打八五折；“世纪联华”超市规定：买一袋洗衣液赠送一块香皂．若妈妈想要买4袋洗衣液和10块香皂，又只能在一家超市购买，你觉得选择哪家超市购买更合算？请说明理由．
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【题目】开学前夕，某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费125元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费90元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
与x轴交于点A（3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；
（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．
（1）按下列要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．
（2）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．
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