Question

如图，已知抛物线y=

1

4

(x-1)(x-b)（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为

（b，0）

，点C的坐标为

（0，

1

4

b）

（用含b的代数式表示）；
（2）若b=8，请你在抛物线上找点P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你探索，在（1）的结论下，在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点B的坐标，再令x=0求出y的值得到点C的坐标；
（2）先根据b的值确定出点A的坐标，然后写出直线AC的解析式，再分∠CAP=90°和∠ACP=90°两种情况写出直线PC、PA的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；
（3）根据O、A、B在同一直线上判定三个相似三角形都是直角三角形，所以点QA⊥x轴，然后分∠OCQ=90°和∠OQC=90°两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出AQ的值，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则

1

4

（x-1）（x-b）=0，
解得x₁=1，x₂=b，
∵b＞2，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，则y=

1

4

b，
∴点C的坐标为（0，

1

4

b）；

（2）b=8时，点A（1，0），C（0，2），
所以，直线AC的解析式为y=-2x+2，
△PAC是直角三角形，分两种情况讨论：
①当∠CAP=90°时，设直线PA的解析式为y=

1

2

x+b，
则

1

2

×1+b=0，
解得b=-

1

2

，
所以，y=

1

2

x-

1

2

，
联立

y= 1 4 (x-1)(x-8) y= 1 2 x- 1 2

，
解得

x1=10 y1=4.5

，

x2=1 y2=0

（为点A坐标，舍去），
∴点P（10，4.5）；
②当∠ACP=90°时，设直线PC的解析式为y=

1

2

x+b，
则

1

2

×0+b=2，
解得b=2，
所以，y=

1

2

x+2，
联立

y= 1 4 (x-1)(x-8) y= 1 2 x+2

，
解得

x1=11 y1=7.5

，

x2=0 y2=2

（为点C坐标，舍去），
∴点P（11，7.5）；
综上所述，存在P（10，4.5）或（11，7.5）使得△PAC是直角三角形；

（3）∵点O、A、B都在x轴上，
∴要使△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，三个三角形都是直角三角形，
∴点QA⊥x轴，
①当∠OCQ=90°时，四边形OAQC是矩形，
∴QA=OC=

1

4

b，
∵△QOA∽△BQA∽△OQC，
∴

QA

AB

=

OA

QA

，
∴QA²=AB•OA，
∴（

1

4

b）²=（b-1）•1，
整理得，b²-16b+16=0，
解得b=8+4

3

，b=8-4

3

（舍去），
∴QA=

1

4

b=

1

4

×（8+4

3

）=2+

3

，
∴点Q的坐标为（1，2+

3

），
②当∠OQC=90°时，
∵△QOA∽△BQA∽△OCQ，
∴

OC

OQ

=

OQ

QA

，△OQA∽△OBQ，
∴OQ²=QA•OC，

OQ

OB

=

OA

OQ

，
∴OQ²=OA•OB，
∴QA•OC=OA•OB，
∴QA•

1

4

b=1•b，
解得QA=4，
∴点Q的坐标为（1，4），
综上所述，点Q的坐标为（1，2+

3

）或（1，4）．
故答案为：B（b，0），C（0，

1

4

b）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，联立两函数解析式求交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（2）（3）两小题都要分情况讨论．