Question

如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且

AB

AC

=

AD

CE

，∠BAD=∠ECA．
（1）求证：AC²=BC•CD；
（2）若E是△ABC的重心，求AC²：AD²的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）利用重心的性质得出BC=2BD=2CD，AE=

2

3

AD，进而得出△BAD∽△ACE，即可得出线段之间关系求出即可．

解答：（1）证明：∵

AB

AC

=

AD

CE

，∠BAD=∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B=∠EAC，
∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴

AC

CD

=

BC

AC

，
∴AC²=BC•CD．

（2）解：∵△BAD∽△ACE，
∴∠BDA=∠AEC，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵E是△ABC的重心，
∴BC=2BD=2CD，AE=

2

3

AD，
∴AC²=BC•CD=2CD²，
∵△BAD∽△ACE，
∴

AD

CE

=

BD

AE

，
∴

2

3

AD2=BD•CE，
∴AD2=

3

2

CD2，
∴

AC2

AD2

=

4

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．