Question

已知，如图，△ABC中，∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，且交于点O，
求证：AB=AE+BD．

Answer 1

证明：在AB上取点M使AM=AE，连接OM
∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠MBO=∠ABC，∠BAO=∠BAC，
∴∠BAO+∠MBO=（∠ABC+∠BAC）=（180°-∠C）=60°，
∴∠AOB=120°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAM=∠OAE，
∵，
∴△AMO≌△AEO，
∴∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°，
∴∠BOM=180°-（∠AOM+∠AOE）=60°，∠BOD=∠AOE=60°，
∴∠BOM=∠BOD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBO=∠DBO，
∵BO是公共边，∠MBO=∠DBO，∠BOD=∠BOM=60°
∴△BOM≌△BOD，
∴BM=BD，
∴AB=AM+BM=AE+BD．
分析：在AB上取点M使AM=AE，判定△AMO≌△AEO，由AD、BE是△ABC的角平分线，∠C=60°得∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°
∴∠BOM=180°-（∠AOM+∠AOE）=60°，∠BOD=∠AOE=60°∴∠BOM=∠BOD，由ASA判定△BOM≌△BOD∴BD=BM∴AB=AM+BM=AE+BD
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，学生们应该熟练掌握．