Question

画出等边三角形BAC绕点B顺时针旋转90°后的图形（△BA′C′），并连接AC′、CA′．
（1）直接写出∠ABC′、∠CAC′、∠A′CB、∠CA′B的度数；
（2）利用结论（1）判断四边形CAC′A′的形状，并进行证明．

Answer 1

分析：（1）找出点B、C顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠ABC=60°，再根据∠ABC′=∠ABC+∠CBC′进行计算即可得解；根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC′，再求出∠CAC′，根据等腰三角形两底角相等求出∠A′CB、∠CA′B的度数；
（2）根据度数求出∠CAC′+∠ACA′=180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行求出A′C∥AC′，再根据旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出AC=A′C′，从而求出四边形CAC'A'是等腰梯形．

解答：（1）解：作图如图所示；
∵△BAC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC′=∠ABC+∠CBC′=60°+90°=150°，
在△ABC′中，AB=BC′，
∴∠BAC′=

1

2

（180°-150°）=15°，
∴∠CAC′=∠BAC-∠BAC′=60°-15°=45°；
在△A′BC中，BC=BA′，∠A′BC=∠CBC′-∠C′BA′=90°-60°=30°，
∴∠A′CB=∠CA′B=

1

2

（180°-30°）=75°；

（2）四边形CAC′A′是等腰梯形．
证明：∵∠ACA′=∠ACB+∠A′CB=60°+75°=135°，
∴∠CAC′+∠ACA′=45°+135°=180°，
∴A′C∥AC′，
又∵△BA′C′是△BAC绕点B顺时针旋转90°得到，
∴AC=A′C′，
∴四边形CAC′A′是等腰梯形．
故答案为：∠ABC′=150°，∠CAC′=45°，∠A′CB=75°，∠CA′B=75°．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，等腰梯形的判定，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．