Question

如图，E是BC上的一点，∠B=∠C=90°，且Rt△ABE≌Rt△ECD．
（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面积是，△ABE的面积是6，求△ABE的周长．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠DEC=90°，
∠AED=180°-（∠ABE+∠DEC）=180°-90°=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；

（2）解：∵△AED是等腰直角三角形，△AED的面积是，
∴AE²=，
解得AE=5，
设AB=x，根据勾股定理，BE=，
S_△ABE=x=6，
整理得，x⁴-25x²+144=0，
解得x₁²=16，x₂²=9（根据图形AB＞BE，舍去），
∴x=4，==3，
△ABE的周长=AB+BE+AE=4+3+5=12．
分析：（1）根据全等三角形对应边相等可得AE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠DEC，然后求出∠AED=90°，再根据等腰直角三角形的定义即可判断；
（2）根据三角形的面积公式求出AE的长，设AB=x，利用勾股定理表示出BE，再根据△ABE的面积是6列出方程求解得到AB、BE，然后根据周长定义列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的性质，以及三角形的面积，（2）用一条直角边表示出另一直角边，然后根据三角形的面积列出方程是解题的关键，解方程有一定难度，要认真运算．