Question

（2012?贵港一模）小明的父亲为了解决全家人夏季淋浴问题，想自己动手制作一个太阳能淋浴器．他买来了一个圆柱形金属桶，一个压力传感开关，两个圆柱体以及细线若干．初步设计如图所示，其中A、B两个圆柱体通过细绳与压力传感开关相连．已知：圆柱形金属桶的底面积S_l=0.5m²，高h₁=50cm；压力传感开关的作用是当它受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水，当拉力等于4N时断开，水泵停止向桶内注水；两个圆柱体的底面积S₂=40cm²，高h₂=12cm，每个圆柱体重G=6N．要求当水桶内储水量达200L时停止注水，当储水量剩余40L时开始注水．请你帮助小明的父亲在其初步设计的基础上，求出满足上述要求的两段细线的长度．（压力传感开关与金属桶间的距离、细绳质量与体积、计算储水量时圆柱体排水体积忽略不计）

Answer 1

分析：分两种情况分析：
（1）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，可求圆柱体受到的浮力，利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，
进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度，此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V₃=40L，
根据h₃=

V3

S1

得出水面2与桶底3之间的深度，可求圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h₇、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h₉；
（2）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到4N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，可求圆柱体受到的浮力，利用阿基米德原理求圆柱体排开水的体积，
进而求出圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度、圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h₅，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h₈，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V₄=200L，根据h₄=

V4

S1

得出水面1与桶底3之间的深度，进而求出圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h₇、圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h₉，水面1到桶底6之间的长度h₆，
最后求出，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度L₁=h₆-h₅，也就是图中5与9之间的高度；
圆柱体A、B之间的绳子长度L₂=h₄-h_浸2-h₇．

解答：解：
（1）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到10N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，圆柱体受到的浮力：F_浮1=2G-F₁=2×6N-10N=2N，
圆柱体排开水的体积：V_排1=

F浮1

ρ水g

=

2N

1×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³=200cm³，
圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：
h_浸1=

V排1

S2

=

2×10-4m3

40×10-4m2

=0.05m=5cm，
此时桶内水面处于右图位置2处，桶内水的体积V₃=40L，
根据h₃=

V3

S1

=

40×10-3m3

0.5m2

=0.08m=8cm得出水面2与桶底3之间的深度为8cm，
圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
（2）压力传感开关受到竖直向下的拉力达到4N时闭合，通过控制水泵从进水口向桶内注水．由于压力传感开关受到竖直向下的拉力等于圆柱体重减去受到的浮力，
圆柱体受到的浮力：F_浮2=2G-F₂=2×6N-4N=8N，
圆柱体排开水的体积：V_排2=

F浮2

ρ水g

=

8N

1×103kg/m3×10N/kg

=8×10^-4m³=800cm³，
圆柱体浸入水中深度为水面2与圆柱体下表面7之间的深度：
h_浸2=

V排2

S2

=

800cm3

40cm2

=20cm，
圆柱体露出水面深度为圆柱体顶端8与水面1之间的长度h₅=2h₂-h_浸2=2×12cm-20cm=4cm，圆柱体A浸入水中的深度为4到5间的深度h₈=h₂-h₅=12cm-4cm=8cm，此时桶内水面处于如图的位置1处，桶内水的容积为V₄=200L，根据h₄=

V4

S1

=

200×10-3m3

0.5m2

=0.4m=40cm得出水面1与桶底3之间的深度为40cm，
圆柱体下表面7与桶底3之间的深度h₇=h₃-h_浸1=8cm-5cm=3cm，
圆柱体B露出水面深度为9与2之间的长度h₉=h₂-h_浸1=12cm-5cm=7cm；
水面1到桶底6之间的长度h₆=h₁-h₄=50cm-40cm=10cm，圆柱体A顶端到桶底的距离就是拴在圆柱体A上绳子长度：
L₁=h₆-h₅=10cm-4cm=6cm，也就是图中5与9之间的高度；
圆柱体A、B之间的绳子长度：L₂=h₄-h_浸2-h₇=40cm-20cm-3cm=17cm．
答：两段细线的长度分别为6cm、17cm．

点评：本题为力学综合题，考查了学生对阿基米德原理、力的合成的掌握和运用，画出两种情况下的示意图帮助解题、理清思路是关键，是一道复杂的竞赛题！