Question

（2011?顺义区一模）在图所示的装置中DC=3m，OD=1m，A、B两个滑轮的质量均为2kg，A是边长为20cm、密度为ρ₁的正方体合金块，当质量为60kg的人用F₁=80N的力沿竖直方向向下拉绳时，合金块A全部浸没在密度为ρ₂的液体中，杠杆恰好在水平位置平衡，此时人对地面的压强为P₁=1.3×10⁴Pa；若人缓慢松绳，使合金块下降并与容器底接触（但不密合），当人用F₂=60N的力向下拉绳时，人对地面的压强为P₂，容器底对A的压强为P₃． （杠杆DC的质量不计，ρ₁：ρ₂=3：1、取g=10N/kg）
求：（1）液体的密度ρ₂
（2）P₂、P₃．

Answer 1

分析：（1）当人用F₁=80N的力沿竖直方向向下拉绳杠杆恰好在水平位置平衡时，先分别以滑轮B、杠杆、滑轮A和合金块为研究对象，再根据力的平衡和杠杆的平衡条件列出等式，解等式得出ρ₁、ρ₂之间的关系．
（2）当人用F₂=60N的力向下拉绳时，先取人为研究对象，分别根据压强公式求出人与地面的接触面积，进一步求出拉力F₂=60N时人对地面的压强P₂；再以滑轮B、杠杆、滑轮A和合金块为研究对象，根据力的平衡和杠杆的平衡条件列出等式，解等式得出容器底对A的压强P₃．

解答：解：（1）分别取滑轮B、杠杆、滑轮A和合金块为研究对象，其受力情况如图1～4所示．
由图1可得：T_B=2F₁+G_B=2×80N+2kg×10N/kg=180N，
由杠杆的平衡条件和图2可得：T_A′=T_B′

OC

OD

=180N×

2m

1m

=360N，
由图3可得：T₁′=

TA-GA

2

=

T′A-GA

2

=

360N-2kg×10N/kg

2

=170N，
由图4可知：因为F_浮1+T₁=G，所以ρ₂gV_排+T₁=ρ₁gV_金属，且T₁=T₁′
即：10N/kg×8×10^-3m³ρ₂+170N=10N/kg×8×10^-3m³ρ₁---------①
（2）取人为研究对象，两种状态下的受力情况分别如图5～6所示，

由图5可求出人与地面的接触面积为：
S_人=

G-F′1

P1

=

60kg×10N/kg-80N

1.3×104Pa

=0.04m²，
由图6，当拉力F₂=60N时，
人对地面的压强为P₂=

N2

S

=

G-F′2

S

=

60kg×10N/kg-60N

0.04m2

=1.35×10⁴Pa；
分别取滑轮B、杠杆、滑轮A和合金块为研究对象，其受力情况如图7～10所示．

由图7可得：T_B2=2F₂+G_B=2×60N+2kg×10N/kg=140N，
由图8可得：T_A2'=T_B2'

OC

OD

=140N×

2m

1m

=280N
由图9可得：T₂'=

TA2-GA

2

=

T′A2-GA

2

=

280N-2kg×10N/kg

2

=130N
由图10可知：因为ρ₂gV_排+T₂+N₃=ρ₁gV_金属，且T₂=T₂′，
即：10N/kg×8×10^-3m³ρ₂+130N+N₃=10N/kg×8×10^-3m³ρ₁------②
ρ₁=3ρ₂--------------------③
联立①②③式可解得：容器底对合金块的支持力N₃=40N；
合金块的密度ρ₁=3187.5kg/m³；
液体的密度ρ₂=1062.5kg/m³；
容器底对A的压强P₃=

N3

S

=

40N

4×10-2m2

=1×10³Pa．
答：（1）ρ₂液体的密度为1062.5kg/m³；
（2）P₂为1.35×10⁴Pa，P₃为1×10³Pa．

点评：本题为力学综合题，要求灵活利用所学知识、选用所学公式，利用好滑轮组的特点、杠杆平衡条件，能正确的选取研究对象并对其正确的受力分析列出等式是本题的关键，难题！