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2026年优课堂给力A加八年级数学上册北师大版
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1.勾股定理：直角三角形
两直角边的平方和等于斜边的平方
。如果用$a$，$b$和$c$分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
。
2.应用勾股定理的注意事项
(1)勾股定理使用的前提是在直角三角形中；
(2)要分清直角边和斜边，在$Rt\triangle ABC$中，直角不一定是$\angle C$，也就是$c$不一定是斜边。
认识勾股定理
答案：两直角边的平方和等于斜边的平方；$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
解析：
勾股定理是直角三角形的重要性质，其内容为两直角边的平方和等于斜边的平方。用字母表示时，若两直角边为$a$、$b$，斜边为$c$，则关系式为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
【例1】下列说法中正确的是 (
C
)
A.已知$a$，$b$，$c$是三角
形
的三边，则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，则$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$
D.在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，则$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$
答案：C
解析：
A. 没有说明三角形是直角三角形，也没有说明$c$是斜边，所以A选项错误。
B. 在直角三角形中，必须是两条直角边的平方和等于斜边的平方，而不是两边和的平方等于第三边的平方，所以B选项错误。
C. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，所以C选项正确。
D. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，则$AC$是斜边，应该是$BC^{2} + AB^{2} = AC^{2}$，而不是$BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，所以D选项错误。
1.某直角三角形的两条边长分别是3和5，那么第三条边长的平方为
16或34
。
答案：$16$或$34$
解析：
本题可根据勾股定理，结合直角三角形两条边长分别是$3$和$5$，分情况讨论第三条边为斜边或直角边时的情况。
勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
情况一：当$5$是斜边时
设另一条直角边为$x$，根据勾股定理可得$x^{2}=5^{2}-3^{2}=25 - 9 = 16$。
情况二：当$5$和$3$都是直角边时
设斜边为$y$，根据勾股定理可得$y^{2}=3^{2}+5^{2}=9 + 25 = 34$。
2. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$\angle C=90^{\circ}$，$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长。
(1)若$c = 25$，$a = 7$，则$b =$
24
；
(2)若$c = 40$，$a:b = 3:4$，则$a =$
24
，$b =$
32
。
答案：24；24；32
解析：
(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。已知$c=25$，$a=7$，则$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$。
(2)设$a=3k$，$b=4k$（$k＞0$）。由勾股定理得$(3k)^2 + (4k)^2 = c^2$，即$9k^2 + 16k^2 = 40^2$，$25k^2 = 1600$，$k^2 = 64$，$k=8$。所以$a=3×8=24$，$b=4×8=32$。
【例2】如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 (
C
)
【方法点拨】巧用勾股定理求面积：以两直角边为边长(或直径)所作的两个图形的面积和等于以斜边为边长(或直径)所作图形的面积，即$S_{3}=S_{1}+S_{2}$。
A.50
B.16
C.25
D.41
答案：C
解析：
根据勾股定理，对应面积关系为 $S_3 = S_1 + S_2$。
由图示可知，直角三角形斜边为 13，一个直角边为 12。
根据勾股定理，另一条直角边为：
$\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$，
阴影部分对应 $S_2$，即边长为 5 的正方形面积：
$S_2 = 5^2 = 25$。
3. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的边长为 (
C
)
A.6
B.8
C.10
D.12
答案：C
解析：
设直角三角形的两条直角边对应的正方形面积分别为36和64，斜边对应的正方形面积为A的面积。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。所以正方形A的面积为36+64=100，其边长为√100=10。
4. 如图，以一个直角三角形的三边为直径向外作3个半圆。已知半圆A，B的直径长分别是$a$，$b$，直角三角形的斜边长为$c$。
(1)$S_{A}=$
$\frac{\pi a^{2}}{8}$
；$S_{B}=$
$\frac{\pi b^{2}}{8}$
；
(
2)
若$S_{A}=6$，$S_{B}=8$，
则$S_{C}=$
14
。
答案：$\frac{\pi a^{2}}{8}$；$\frac{\pi b^{2}}{8}$；14
解析：
(1) 半圆A的直径为a，半径为$\frac{a}{2}$，面积$S_{A}=\frac{1}{2}\pi(\frac{a}{2})^{2}=\frac{\pi a^{2}}{8}$；半圆B的直径为b，半径为$\frac{b}{2}$，面积$S_{B}=\frac{1}{2}\pi(\frac{b}{2})^{2}=\frac{\pi b^{2}}{8}$。
(2) 由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。半圆C的直径为c，半径为$\frac{c}{2}$，面积$S_{C}=\frac{1}{2}\pi(\frac{c}{2})^{2}=\frac{\pi c^{2}}{8}$。因为$S_{A}+S_{B}=\frac{\pi a^{2}}{8}+\frac{\pi b^{2}}{8}=\frac{\pi(a^{2}+b^{2})}{8}=\frac{\pi c^{2}}{8}=S_{C}$，所以$S_{C}=6+8=14$。
