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2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册人教版
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1. (★)有一块面积为 900 平方米的矩形绿地,并且长比宽多 10 米,则绿地的长和宽各是多少? 设绿地的宽为 $ x $ 米,则绿地的长为 $ (x + 10) $ 米,可列出关于 $ x $ 的方程为
$x(x + 10) = 900$
.
答案：$x(x + 10) = 900$
解析：
设绿地的宽为$x$米，长比宽多10米，则长为$(x + 10)$米。
根据矩形面积公式：面积 = 长 × 宽，列出方程：
$x(x + 10) = 900$
2. (★)有下列各数:①$-3$,②$-2$,③$-1$,④$1$.其中是方程 $ x^{2} + 2x - 3 = 0 $ 的解的是【
C
】
A.①②
B.①③
C.①④
D.②③
答案：C
解析：
将各数分别代入方程 $x^{2} + 2x - 3 = 0$ 进行验证：
① 当 $x = -3$ 时，$(-3)^{2} + 2 × (-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$，满足方程。
② 当 $x = -2$ 时，$(-2)^{2} + 2 × (-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \neq 0$，不满足方程。
③ 当 $x = -1$ 时，$(-1)^{2} + 2 × (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \neq 0$，不满足方程。
④ 当 $x = 1$ 时，$1^{2} + 2 × 1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$，满足方程。
因此，满足方程的是①和④。
3. (★)等号两边都是整式,只含有
1
个未知数,并且未知数的最高次数是
2
的方程,叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是
$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）
,其中
$a$
是二次项系数,
$b$
是一次项系数,
$c$
是常数项.
答案：1；2；$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）；$a$；$b$；$c$
解析：
根据一元二次方程的定义，等号两边都是整式，只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。其一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
4. (★)使一元二次方程
左右两边相等
的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
根
.
答案：左右两边相等；根
解析：
根据一元二次方程解的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
5. (★)学校劳动实践基地里有一块长 20 米、宽 10 米的矩形空地,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道(如图 21.1 - 1 中阴影部分所示),剩下部分种植实验作物. 已知种植实验作物的面积为 171 平方米,设小道的宽为 $ x $ 米,则根据题意可列方程为______.
答案：$(20 - x)(10 - x) = 171$
解析：
根据种植面积为171平方米，可列方程$(20 - x)(10 - x) = 171$。
6. (★)有下列方程:①$ 3x^{2} + 7 = 0 $;②$ ax^{2} + bx + c = 0 $;③$ (x - 2)(x + 5) = x^{2} - 1 $;④$ 3x^{2} - \frac{5}{x} = 0 $. 其中是一元二次方程的有【 】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案：A
解析：
① $3x^{2} + 7 = 0$：此方程满足一元二次方程的定义（只含一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0），所以它是一元二次方程。
② $ax^{2} + bx + c = 0$：此方程形式上看似一元二次方程，但当$a = 0$时，它退化为一元一次方程，因此，它不一定是一元二次方程。
③ $(x - 2)(x + 5) = x^{2} - 1$：展开后得到$x^2 + 3x - 10 = x^2 - 1$，化简为$3x = 9$，这是一元一次方程，不是一元二次方程。
④ $3x^{2} - \frac{5}{x} = 0$：此方程中，由于含有$\frac{1}{x}$项，它不是整式方程，因此不是一元二次方程。
综上所述，只有①是一元二次方程。
7. (★)已知 $ (m - 3)x^{2} - x + 2 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 应满足的条件是______.
答案：$m\neq3$
解析：
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），题中方程$(m - 3)x^{2} - x + 2 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$m - 3\neq0$，解得$m\neq3$。
8. (★)一元二次方程 $ 3x(x - 2) = 2(x + 1) - 2 $ 的一般形式是【 】
A.$ 3x^{2} - 8x = 0 $
B.$ 3x^{2} - 5x + 1 = 0 $
C.$ 3x^{2} - 8x + 1 = 0 $
D.$ 3x^{2} - 5x - 1 = 0 $
答案：A
解析：
首先将方程 $3x(x - 2) = 2(x + 1) - 2$ 展开并整理：
左边展开：$3x^2 - 6x$，
右边展开：$2x + 2 - 2 = 2x$，
移项得：$3x^2 - 6x - 2x = 0$，
合并同类项：$3x^2 - 8x = 0$。
对比选项，A选项与上述结果一致。
9. (★★)把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项:
(1)$ 5x = 1 - x^{2} $;
(2)$ (x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15 $.
答案：
(1) 解：
原方程 $5x = 1 - x^{2}$，
移项得 $x^{2} + 5x - 1 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $5$，常数项为 $-1$。
(2) 解：
原方程 $(x + 1)^{2} + 2(x + 1) = 15$，
展开得 $x^{2} + 2x + 1 + 2x + 2 = 15$，
合并同类项得 $x^{2} + 4x - 12 = 0$。
二次项系数为 $1$，一次项系数为 $4$，常数项为 $-12$。
10. (★)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0 $ 有一个根为 $ x = 0 $,则 $ a = $______.
答案：-1
解析：
将$x=0$代入方程$(a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0$，得$a^{2}-1=0$，解得$a=\pm1$。又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$，故$a=-1$。
11. (★)若关于 $ x $ 的方程 $ (m + 2)x^{2} - 3x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ m $ 的取值范围是【
C
】
A.$ m \neq 0 $
B.$ m ＞ - 2 $
C.$ m \neq - 2 $
D.$ m ＞ 0 $
答案：C
解析：
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）。在方程$(m + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$中，二次项系数为$m + 2$。要使该方程为一元二次方程，二次项系数不能为$0$，即$m + 2 \neq 0$，解得$m \neq -2$。
12. (★★)已知方程 $ (a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0 $ 是一元二次方程,则 $ a $ 的值为______.
答案：4
解析：
根据题意，方程 $(a + 4)x^{|a| - 2} + 8x + 1 = 0$ 是一元二次方程，因此 $x$ 的最高次数为 $2$，且二次项系数不能为 $0$。
首先，最高次数条件：$|a| - 2 = 2$，解得 $|a| = 4$，即 $a = 4$ 或 $a = -4$。
其次，二次项系数条件：$a + 4 \neq 0$，即 $a \neq -4$。
综合以上，$a = 4$。
13. (★)方程 $ 2x^{2} = 3(x - 6) $ 化为一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项分别为【
B
】
A.$ 2,-3,6 $
B.$ 2,-3,18 $
C.$ 2,-3,-6 $
D.$ 2,3,6 $
答案：B
解析：
将方程 $2x^2 = 3(x - 6)$ 展开并整理为一般形式：
$2x^2 = 3x - 18$
$2x^2 - 3x + 18 = 0$
因此，二次项系数为 $2$，一次项系数为 $-3$，常数项为 $18$。
14. (★★)一元二次方程 $ (3m + 6)x^{2} + 4x + m^{2} - 4 = 0 $ 的常数项是 $ 0 $,那么 $ m $ 的值为【 】
A.- 2
B.2
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $
答案：B
解析：
根据题意，常数项为 $m^{2}-4$，且常数项等于 $0$，故有：
$m^{2}-4=0$
解得：$m^{2}=4$，$m=\pm2$。
又因为一元二次方程二次项系数 $3m+6 \neq 0$，即 $m \neq -2$，所以 $m=2$。
15. (★★)若方程 $ 2x^{2} + mx = 3x + 2 $ 中不含 $ x $ 的一次项,则 $ m $ 的值为______.
答案：3
解析：
首先将方程 $2x^2 + mx = 3x + 2$ 整理成标准形式，
移项得到：$2x^2 + mx - 3x - 2 = 0$，
合并同类项：$2x^2 + (m - 3)x - 2 = 0$。
由于方程中不含 $x$ 的一次项，所以一次项系数 $m - 3$ 必须为 $0$，
即：$m - 3 = 0$，
解得：$m = 3$。
