Question

【题目】如图所示，有一均匀带负电的正方形绝缘线框，每边边长为，线框上串有许多带正电的小球（看成质点），每个小球的带电量为，每边的总带电量为零（即线框的带电量和各小球的带电量互相抵消）. 今各小球相对线框以速率沿绝缘线做匀速运动，在线框参考系中测得相邻两小球的间距为，线框又沿边以速率在自身平面内相对系做匀速运动. 在线框范围内存在一均匀电场，其方向与线框平面的倾角为. 考虑相对论效应，试在系中计算以下各量.

（1）线框各边上相邻两小球的间距，，，

（2）线框各边的净电量，，，

（3）线框和小球系统所受的电力矩大小

（4）线框和小球系统的电势能.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）（4）

【解析】

（1）令为观察到的环路以速度运动的实验室参照系，为环路参照系（系的轴与同向，沿着边的方向，轴则垂直于环路所在平面）. 系各轴平行于系各对应轴，与系的坐标原点在时重合.

（a）边

建立与边上的小球一起运动的参照系，它的各坐标轴与，系的坐标轴平行. 相对具有速度.

据洛伦兹收缩，测得的边上相邻两个小球之间的距离为

. ①

（只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立）

据相对论速度求和公式，系中的观察者认为边上各球具有的速度为

. ②

再据洛伦兹收缩，此观察者将测得边上相邻两球的间距为

. ③

将①②式代入到③式，可得

. ④

（b）边

对系中的观察者而言，边上小球的速度为

. ⑤

再据洛伦兹收缩有

. ⑥

将①⑤式代入到⑥式，便得

. ⑦

（c）边

在系中，令边上的某一小球在时刻位于处. 在同一时刻，邻近的一个小球应位于，，处.

各球相对于系的空——时坐标可由洛伦兹变换式给出

；，；. ⑧

据此，第一个小球在系中有

；，；. ⑨

第二个小球则为

；，；. ⑩

由于，系中这两个小球之间的距离便为

，

即得.

（4）边

重复上述相似的结论，可得

.

（其实，由于，边与垂直，无洛伦兹收缩，故）

（2）在环路参照系中，每一条边线上的电荷量为.

在此已考虑到为各边上的小球数. 由于电荷是运动不变量，在实验室参照系中测得的各边线电荷量也为此值.

（a）边在实验室参照系中，边上各球电荷量之和为

.

此式系由边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得. 式右边第一项中的分子为系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距.

将④式代入到式中，可得

.

将式和式相加，便得边上总电荷量为

.

（b）边用相同的方法可得

.

将和式式相加，可得

.

（c）边和边在系中观察者测得这两条边的边长均为，相邻两球的间距也均为，因此

. /span>

将和式相加，可得

， （21.1）

. （21.2）

（3）作用在边上的电场力为

.

作用在边上的电场力为

.

与形成一力偶. 据力偶的力矩表达式，可得（参见图1）

.

最后可表达成

.

（4）显然，线框上与两边上的电荷的总电势能为零，或者不予考虑.

令和分别为边上各点和边上各点的静电势（指场强为的外电场的电势），那么有.

将电势零位（）选在与垂直的一个平面上，此平面与边的间距为某一任意量（见图2），于是

.

但，故

.

将式代入到式，便得

.

本题是第22届国际物理奥林匹克竞赛试题.首先，对于运动的系统，在考虑相对论效应时，不同的参照系间的时空会发生变化，物体的质量也要发生变化，但电量却是不变的.其次，不要纠结于为什么在线框系中各边的总电量为零，而到了实验室参照系中各边的总电量就不为零了. 因为对于边线而言，它在线框系中是静止的，在实验室系看来，其上的电荷分布是与线框在一起的，因而，线框上的电量不会变化，但小球是运动的，在实验室系中看，虽然每个球上的电量是不变的，但每个边上的小球数量并不相同，于是有了解答中的结果.再次，本题也提示我们在学习相对论知识的过程中，应该注意到哪些是与参照系相关的量，哪些是与参照系无关的不变量.最后，本题所要求的量很多，上面的解答也为我们提供了一个很好的程序法的示例：将问题逐个排序解决，从而保证了解答过程的清晰明了，避免出现疏漏及错误.