Question

【题目】质量分别为，的两物体、连接在原长，劲度系数为的弹性绳两端，并放置在水平桌面上，如图所示.已知两物块与桌面间的摩擦因数均为.现将两物拉开至相距处，由静止释放，试求：

（1）两物体相碰时的速度、；

（2）从释放到相碰所用的时间.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）系统的运动可分解为质心的运动和相对于质心的运动.由于存在外力，故先求质心运动的加速度.

由牛顿第二定律可得

，

所以，.

下面讨论两物体相对于质心的运动.

当、之间的距离为时，、到质心的距离分别为和，则对应部分弹性绳的劲度系数分别为和.

由于质心系是一个零动量的系统，我们选择其中一个物体作为研究对象，得到绳子松弛时的速度，也就容易得到另一个物体的速度.

讨论质心系中的运动.

如图所示，为绳子的松弛点，则

.

为在弹力、摩擦力和惯性力共同作用下的平衡点，所以

，

所以，.

而拉伸后，，所以，在弹性绳收缩的过程中做振幅为的简谐运动，其周期.

从释放到回到原长所经历的时间满足

.

代入数据可得

.

到达点时的速度为，则

.

代入数据可得.

利用质心系的动量是零可得

.

回到桌面参考系中，质心的速度为

.

的速度为

.

的速度为

.

以后绳子在松弛状态，两物体运动的加速度大小均为

.

由于的速率较小，先计算此刻起到停止为止，经历的时间，滑过的路程.

，

.

在时间内，的运动路程为

，

.

说明在停下来以前，、未发生碰撞.重新考察的运动，有

.

假设经过后还有速度，有

，

解得.

两物体相碰时的速度为

，（“—”表示方向向左）.

（2）前面已经得到了，下面再求从绳子松弛开始到、相碰所经历的时间.

利用得，

所以，.

本题是一道较为复杂的动力学习题，对象与过程都较多，而且每个对象的过程都不是单一的，其运动也不是同步的，因此，在对每个对象运用程序法解题时，还必须注意与另一对象的对比，其难度可想而知.

参照系的选择是捅破本题的一大亮点，此处质心系一方面是零动量系，同时也是非惯性系，零动量系为求解物体的速度带来了方便，但非惯性系中的动力学问题又必须引入惯性力，而且最后还必须回到地面系来研究问题，得到结果，可谓有得矣有失，但从总体上讲，质心系为我们的解题带来的描述上的简洁是其他方法无法替代的.

单个物体在有摩擦力作用的情况下的振动，我们平时研究得较多，这种运动单向是简谐运动，但双向并不是完整的简谐运动，因为不同方向振动的平衡位置并不相同，因此，这类习题的解题必须严格地遵循程序法的解题步骤.