Question

（2010•台州二模）由数字1，2，3，4组成五位数

.	a1a2a3a4a5

，从中任取一个．
（I）求取出的数满足条件：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5，且k≠j），使得a_j=a_k”的概率；
（II）记ξ为组成这个数的相同数字的个数的最大值，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由数字1，2，3，4组成的五位数

.

a1a2a3a4a5

共有4⁵个，数满足条件可分为两类，一类只由一个数字组成，共有4个，一类是由两个数字组成，共有C₄²•C₅²•2=120个，根据等可能事件的概率公式解之即可；
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5，然后分别求出相应的概率，列出ξ的分布列，最后利用离散型随机变量的期望公式解之即可．

解答：解：（I）由数字1，2，3，4组成的五位数

.

a1a2a3a4a5

共有4⁵个
数满足条件：“对任意的正整数j（1≤j≤5），至少存在另一个正整数k（1≤k≤5），使得a_j=a_k”的五位数

.

a1a2a3a4a5

可分为两类：
（i）只由一个数字组成，如11111，22222，等共有4个；
（ii）由两个数字组成，如11122，11133等，共有C₄²•C₅²•2=120个
由（i）、（ii）知共有124个------（6分）
∴所求概率p=

124

45

=

31

256

．------（7分）
（II）由题意ξ可能的取值为2、3、4、5------（8分）
P(ξ=5)=

4

45

=

1

256

P(ξ=4)=

C54•C41•C31

45

=

15

256

P(ξ=3)=

C53•C41•32

45

=

90

256

P（ξ=2）=1-[P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）]=

150

256

------（12分）ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	150 256	90 256	15 256	1 256

∴Eξ=2•P（ξ=2）+3•P（ξ=3）+4•P（ξ=4）+5•P（ξ=5）=

635

256

．------（14分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量的数学期望和分布列，以及等可能事件的概率，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．