Question

14、已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，若函数y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零点个数是3，则a的范围为

（3，5）

．

Answer 1

分析：先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．

解答：解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[-1，1]时，f（x）=|x|，
根据函数的周期性画出图形，如图，
再在同一坐标系中画出函数y=log_ax，的简图，
将函数y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零点个数问题转化为图象的交点问题，
当0＜a＜1时，两个函数图象无交点，因此不符合题意；
当a＞1时，且函数y=log_ax图象过点（3，1）时恰有二个交点，此时，a=3；
当函数y=log_ax图象过点A（5，1）时恰有三个交点，此时，a=5
若函数y=f（x）-log_ax，（x＞0）的零点个数是3
∴a的取值范围为（3，5）
故答案为（3，5）

点评：本题考查了函数与方程的综合运用、利用函数零点的存在性求变量的取值范围．是道中档题．