Question

【题目】如图，正方形ABCD的中心为O ， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 点G为AB的中点，AB=BE=2.

（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH= HF ， 求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：找到 中点 ，连结 ，

∵矩形 ,∴

∵ 、 是中点，∴ 是 的中位线

∴ 且

∵ 是正方形 中心

∴

∴ 且

∴四边形 是平行四边形

∴

∵ 面

∴ 面

（2）

解：如图所示建立空间直角坐标系

， ， ，

设面 的法向量

得：

∴

∵ 面 ，

∴面 的法向量

（3）

∵

∴

设

∴

得：

【解析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；
（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．