Question

（1）已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），求证：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数f(x)=

2

x

+

9

1-2x

（x∈(0，

1

2

)）的最小值，指出取最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用基本不等式a²+b²≥2ab，乘积一定，和有最小值，等号成立的条件是两正数相等；
（2）利用（1）的结论，将（2）变形为f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

即可．

解答：解：（1）应用二元均值不等式，得(

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+a2

y

x

+b2

x

y

≥a2+b2+2

a2 y x b2 x y

=（a+b）²，
故

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．
当且仅当a2

y

x

=b2

x

y

，即

a

x

=

b

y

时上式取等号．
（2）由（1）f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25．
当且仅当

2

2x

=

3

1-2x

，即x=

1

5

时上式取最小值，即[f（x）]_min=25．

点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．