Question

对于数列{a_n}，有f_n（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁=3，f_n（1）=p（1-2ⁿ）
求：（1）p的值
（2）{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1）∵f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n
=p（1-2ⁿ）…2′
∴a₁=p（1-2¹）=3
∴p=-3…4′．
（2）n≥2时，
a₁+a₂+…+a_n-1=3（2^n-1-1），
∴a_n=3（2ⁿ-1）-3（2^n-1-1）
=3•2^n-1…7’
又∵a₁=3，
∴a_n=3•2^n-1（n∈R）．…8’
分析：（1）由f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n=p（1-2ⁿ），能求出p的值．
（2）n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=3（2^n-1-1）．所以a_n=3（2ⁿ-1）-3（2^n-1-1）=3•2^n-1，由此能求出{a_n}的通项公式．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数列递推公式的合理运用．