Question

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直线m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+6x-6a，f′（-1）=0，
即3a-6-6a=0，∴a=-2．
（2）∵直线m恒过定点（0，9），先求直线m是曲线y=g（x）的切线，设切点为（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6，
∴切线方程为y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），将点（0，9）代入，得x₀=±1，
当x₀=-1时，切线方程为y=9；
当x₀=1时，切线方程为y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1或x=2，
当x=-1时，y=f（x）的切线方程为y=-18；
当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9．
∴公切线是y=9．
又有f′（x）=12得-6x²+6x+12=12，∴x=0或x=1．
当x=0时，y=f（x）的切线方程为y=12x-11；
当x=1时，y=f（x）的切线方程为y=12x-10，
∴公切线不是y=12x+9．
综上所述公切线是y=9，此时存在，k=0．
分析：（1）由题中条件：“f′（-1）=0”，先求出函数的导数，再代入计算f′（-1）的值，即可求得a的值；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线，再利用导数的几何意义，求出曲线y=g（x）的切线和曲线y=f（x）的切线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．