Question

【题目】已知圆M：（x）2+y2＝r2（r＞0）．若椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若存在直线l：y＝kx，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且|AG|＝|BH|，求圆M半径r的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由题判断可知，，再结合离心率和椭圆的关系式即可求解；

（2）需要将题意进行转化，要求其实也就是求，联立直线与椭圆方程，求出弦长，再由圆心到直线距离公式求出弦心距，结合几何关系表示出，令可表示出，由不等式的性质和函数关系即可求解的取值范围；

（1）设椭圆的焦距为2c，

由椭圆右顶点为圆M的圆心（，0），得a，

又，所以c＝1，b＝1．

所以椭圆C的方程为：．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由直线l与椭圆C交于两点A，B，则，

所以（1+2k2）x2﹣2＝0，则x1+x2＝0，，

所以，

点M（，0）到直线l的距离d，

则|GH|＝2，

显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，若直线y＝kx是y轴，矛盾，

所以要使|AG|＝|BH|，只要|AB|＝|GH|，

所以4，

2，

当k＝0时，r，

当k≠0时，2（1）＝3，

又显然2，所以，

综上，．