Question

点集{（x，y）|||x|-1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是（　　）

A．14

B．16

C．18

D．20

Answer 1

分析：分析方程的特征可得，方程的曲线关于x轴、y轴、及原点对称，画出曲线在第一象限内的情况，求出曲线在第一象限内围成的图形的面积，乘以4，即得所求．

解答：解：由于方程|||x|-1|+|y|=2 中，把x换成-x，方程不变，故方程表示的曲线关于y轴对称；
把y换成-y，方程也不变，故方程表示的曲线关于x轴及原点都对称，
即点集{（x，y）|||x|-1|+|y|=2}的图形关于x轴、y轴、及原点对称．
先考虑曲线位于第一象限及坐标轴上的情况．
令x≥0，y≥0，方程化为 y=2-|x|，表示线段AB 和BC，如图所示：
 
曲线在第一象限内围成的图形的面积等于直角梯形OABD的面积，加上直角三角形BDC的面积．
而直角梯形OABD的面积为

(1+2)×1

2

=

3

2

，直角三角形BDC的面积等于

1

2

×2×2=2，
故曲线在第一象限内围成的图形的面积等于

3

2

+2=

7

2

，
故整条封闭折线所围成的区域的面积是4×

7

2

=14，
故选A．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象特征，函数的对称性的应用，体现了分类讨论与数形结合的数学思想，属于中档题．