Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+ ）an+ ．
（1）设bn= ，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得b1=a1=1，且 = + ，

即bn+1=bn+ ，从而b2=b1+ ，

b3=b2+ ，

bn=bn﹣1+ （n≥2）．

于是bn=b1+ + +…+ =2﹣ （n≥2）．

又b1=1，

故所求的通项公式为bn=2﹣

（2）解：由（1）知an=2n﹣ ，

故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），

设Tn=1+ + + +…+ ，①

Tn= + + +…+ + ，②

①﹣②得，

Tn=1+ + + +…+ ﹣

= ﹣ =2﹣ ﹣ ，

∴Tn=4﹣ ．

∴Sn=n（n+1）+ ﹣4

【解析】（1）由已知得 = + ，即bn+1=bn+ ，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知an=2n﹣ ，故Sn=（2+4+…+2n）﹣（1+ + + +…+ ），设Tn=1+ + + +…+ ，由错位相减法能求出Tn=4﹣ ．从而导出数列{an}的前n项和Sn ．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．