Question

某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图为函数y=f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，试分别计算出第二次、第三次服药的时间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象分段设出一次函数模型，分别代入点（4，320）和（20，0）求解函数解析式；
（Ⅱ）设x为第一次服药后经过的时间，由第一次服药的残留量大于等于240求解x的范围，同样由第二次服药的残留量大于等于240求解第二次的药效时间，再由前两次的服药残留量大于240求解第三次的服药时间．

解答：解：（I）由图象可知：
当x∈[0，4]时，设y=kx．
把（4，320）代入，得k=80，∴y=80x．
当x∈[4，320]时，设y=kx+b．
把（4，20），（20，0）代入得

4k+b=320 20k+b=20

，解得

k=-20 b=400

．
∴y=400-20x．
∴f(x)=

80x，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

（II）设x为第一次服药后经过的时间，
则第一次服药的残留量y1=f(x)=

80x，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

由y₁≥240，得

0≤x≤4 80x≥240

或

4＜x≤20 400-20x≥240

解得3≤x≤4或4＜x≤8，∴3≤x≤8．
故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16：00．
设第二次服药产生的残留量为y₂，
则y2=f(x-8)=

80(x-8)，8≤x≤12 400-20(x-8)，12＜x≤28.

由y₂≥240，得

8≤x≤12 80(x-8)≥120

或

12＜x≤28 400-20(x-8)≥240

解得11≤x≤12或12＜x≤16，∴11≤x≤16．
若仅考虑第二次服药的残留量，第三次服药应在第一次服药16小时后，而前两次服药的残留量为
y₁+y₂，由

x＞16 y1+y2≥240

得

x＞16 400-20x+400-20(x-8)≥240

，解得16＜x≤18．
故第三次服药应在第一次服药18小时后，即次日凌晨2：00．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数涉及的不等式的解法，解答此题的关键是对题意的理解与把握，考查了计算能力，是中档题．