Question

已知抛物线C：y²=2px（p>0），F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q。
 （1）若点P（0，2）与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90°，求抛物线方程；
 （2）设点M（m，0）在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意知：|AQ|=|AF|，
∵∠PQF=90°，
∴A为PF 的中点，
∵
∴，且点A在抛物线上，代入得

所以抛物线方程为。
（2）设A（x，y），y²=2px，根据题意
∠MAF为锐角且


∵y²=2px，
所以得对x≥0都成立
令
都成立
①若，即时，只要使成立
整理得，且
所以
②若，即
只要使成立，得m＞0
所以
由①②得m的取值范围是0＜m＜，且。