【题目】（本小题满分14分）如图，三角形
所在的平面与长方形
所在的平面垂直，
，
，
．
（1）证明：
平面
；
（2）证明：
；
（3）求点
到平面
的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）由四边形
是长方形可证
，进而可证
平面
；（2）先证
，再证
平面
，进而可证
；（3）取
的中点
，连结
和
，先证
平面
，再设点
到平面
的距离为
，利用
可得
的值，进而可得点到平面的距离．
试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为
平面
，
平面
，所以平面
（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面
平面
，平面
平面
，
平面，所以平面，因为
平面，所以
（3）取的中点，连结和，因为
，所以
，在
中，
，因为平面平面，平面平面，
平面
，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以
平面，因为
平面，所以
，设点到平面的距离为，因为，所以
，即
，所以点到平面的距离是
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【题目】圆台的上、下底面半径分别为
、
，母线长
，从圆台母线
的中点
拉一条绳子绕圆台侧面转到
点（
在下底面），求：
（1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
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【题目】对于函数
，如果存在实数
使得
，那么称
为
的生成函数.
（1）函数
，是否为的生成函数？说明理由；
（2）设
，
，当
时生成函数，求的对称中心（不必证明）；
（3）设
，
，取
，
，生成函数，若函数的最小值是5，求实数
的值.
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【题目】下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程
，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上错误结论的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知函数f(x)＝
x2－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x>1时， x2＋ln x<
x3.
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【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及焦点坐标.
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作
轴的垂线，交椭圆于
、
两点，过椭圆上不同于点、的任意一点
，作直线
、
分别交轴于
、
两点.证明：点、的横坐标之积为定值.
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【题目】设
是一个由
和
构成的
行
列的数表，且中所有数字之和不小于
，所有这样的数表构成的集合记为
，记
为的第
行各数之和
，
为的第
列各数之和
，
为
、
、
，
、
、
、、
中的最大值.
（1）对如下数表，求的值；
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）设数表
，求的最小值；
（3）已知
为正整数，对于所有的
，
，且的任意两行中最多有
列各数之和为，求的值.
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【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面
底面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：
平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
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【题目】某手机生产厂商为迎接5G时代的到来，要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：
，
，
，
，
，
（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：
其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人．
（1）求a和b的值；
（2）用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
（3）若以厂家此次调查结果的频率作为概率，市场随机调查两人，这两人屏幕需求尺寸分别在和的概率是多少？
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