Question

已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）当时, 研究的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；

Answer 1

（Ⅰ）的极小值为；（Ⅱ）。

试题分析：（1）因为，，那么求解导数的正负，得到单调性的求解。
（2） 的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ，，构造函数令，确定出最大值。比较大小得到。
解：（Ⅰ），   ……2分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增   …………4分 
∴的极小值为                         ……6分
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ，……5分
令，，  …………8分   
当时，，在上单调递增  ………9分
∴     ………11分
∴在（1）的条件下，……………………………12分
点评：解决该试题的关键是利用导数的正负判定函数单调性，和导数为零点的左右符号的正负，进而得到函数极值，进而求解最值。