Question

已知函数，其中.
（1）若，求函数的定义域和极值；
（2）当时，试确定函数的零点个数，并证明.

Answer 1

（1）定义域为，且，当时，函数有极小值；（2）函数存在两个零点．

试题分析：若，求函数的定义域和极值，把代入得函数，故可求得函数的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当时，试确定函数的零点个数，即求函数的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数．
（1）函数的定义域为，且.              1分
.                                 3分
令，得，
当变化时，和的变化情况如下：

	↘	↘		↗

      4分
故的单调减区间为，；单调增区间为．
所以当时，函数有极小值.                      5分
（2）结论：函数存在两个零点.
证明过程如下：
由题意，函数，
因为 ，
所以函数的定义域为.                                      6分
求导，得，          7分
令，得，，
当变化时，和的变化情况如下：

	↗		↘		↗

 
故函数的单调减区间为；单调增区间为，．
当时，函数有极大值；当时，函数有极小值.                                                        9分
因为函数在单调递增，且，
所以对于任意，.                              10分
因为函数在单调递减，且，
所以对于任意，.                                11分
因为函数在单调递增，且，，
所以函数在上仅存在一个，使得函数，      12分
故函数存在两个零点（即和）.                           13分