Question

在数l和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的定义和性质先求出T_n，然后求出数列的通项公式．
（2）利用（1），先求出b_n的通项公式，然后利用数列b_n的特点，求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）数l和100之间插入n个实数，构成等比数列为{c_n}，则c₁=1，c_n+2=100，所以数列{c_n}是以1为首项的等比数列，Tn=c1?c2?…?cn+2=(c1??cn+2)

n+2

2

=100

n+2

2

=10n+2，
所以a_n=lgT_n=n+2，n≥1．
（2）b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=1-tan（-n-2）•tan（n+3）-1
=[tan（-n-2）+tan（n+3）]÷tan（-n-2+n+3）-1═[tan（n+3）-tan（n+2）]-1，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n
=[（tan4-tan3）+（tan5-tan4）+…+（tan（n+3）-tan（n+2）]-n
=[tan（n+3）-tan3]-n．

点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．